فراکتال (Fractal) یا بَرخال یا فرکتال شاخه جدیدی از ریاضیات و هنر است. اغلب مردم فراکتال‌ها را فقط به عنوان تصاویر زیبایی می‌شناسند که برای پس‌زمینه صفحه نمایش رایانه یا کارت پستال به کار می‌برند. اما فراکتال‌ها واقعاً چه هستند؟

اغلب سیستم‌های فیزیکی در طبیعت و بسیاری از مصنوعات بشر اَشکال هندسی منظمی مطابق هندسه استاندارد اقلیدسی ندارند. هندسه فراکتالی روش‌های تقریباً نامحدودی برای توصیف، سنجش و پیش‌بینی این پدیده‌های طبیعی ارائه می‌کند. اما آیا می‌توان با استفاده از معادلات ریاضی کل جهان را تعریف کرد؟

فراکتال در ریاضی

بسیاری از افراد مجذوب تصاویری هستند که به آن‌ها فراکتال می‌گویند. هندسه فراکتالی فراتر از تصور معمول مردم درباره ریاضیات است که آن را فرمول‌های پیچیده و کسل‌کننده می‌بینند. این هندسه، ریاضیات را با هنر در می‌آمیزد و نشان می‌دهد که معادله‌ها چیزی جز یک مجموعه عدد نیستند. آن‌چه فراکتال‌ها را جذاب‌تر می‌کند، این است که بهترین توصیف‌های ریاضیاتی موجود برای بسیاری از پدیده‌های طبیعی، مانند سواحل، کوه‌ها یا بخش‌هایی از موجودات زنده هستند. دو مورد از مهم‌ترین خصوصیات فراکتال‌ها، خودتشابهی (Self-similarity) و بُعد غیرصحیح (Non-integer Dimension) آن‌ها است.

اگرچه هندسه فراکتالی ارتباط نزدیکی با فناوری و رایانه دارد، اما برخی افراد مدت‌ها قبل از اختراع رایانه بر روی فراکتال کار کرده بودند. این افراد نقشه‌برداران بریتانیایی بودند که در اندازه‌گیری طول ساحل انگلیس با مشکل روبه‌رو شدند. خط ساحلی که روی یک نقشه در مقیاس بزرگ به دست آمده بود، تقریباً نیمی از طول خط ساحلی بود که در یک نقشه دقیق و با جزئیات اندازه‌گیری شده بود. هرچه این دو نقشه به یکدیگر نزدیک‌تر می‌شدند، خط ساحلی دقیق‌تر و طولانی‌تر می‌شد. آن‌ها به این نکته پی‌نبرده بودند که یکی از اصلی‌ترین ویژگی‌های فراکتال‌ها را کشف کرده‌‌اند.

فراکتال‌ها انواع مختلفی دارند که دو نوع از محبوب‌ترین آن‌ها: فراکتال‌های عدد مختلط (Complex Number) و فراکتال‌های سیستم تابع تکرار شونده (Iterated Function System) یا IFS. هندسه فراکتالی در بسیاری از حوزه‌های علمی مانند اخترفیزیک و علوم زیستی کاربرد دارد و به یکی از مهم‌ترین تکنیک‌ها در گرافیک رایانه‌ای تبدیل شده است.

فراکتال‌ها در اخترفیزیک

هیچ‌کس نمی‌داند که دقیقاً چند ستاره در آسمان می‌درخشد، اما آیا تا به حال فکر کرده‌اید که این ستاره‌ها چگونه شکل گرفته‌اند و در نهایت منزل‌گاه خود را در جهان یافته‌اند؟ اختر فیزیکدانان بر این باورند که مهم‌ترین مسئله ماهیت فراکتالی گاز میان‌ستاره‌ای بوده و توزیع‌ فراکتال‌ها مانند مسیر دود یا ابرهای موج‌دار در آسمان، سلسله‌مراتبی است. آشفتگی موجب تشکیل ابرها در آسمان و ابرهای موجود در فضا می‌شود و الگویی نامنظم اما تکراری به آن‌ها می‌دهد که بدون کمک گرفتن از هندسه فراکتالی توصیف آن غیرممکن است.

فراکتال‌ها در علوم زیستی

زیست‌شناسان، به طور سنتی با استفاده از نمایش اقلیدسی اشیاء یا دنباله‌های طبیعی، طبیعت را مدل کرده‌اند. آن‌ها ضربان قلب را به عنوان امواج سینوسی، درختان مخروطی را به عنوان مخروط‌ها، زیستگاه‌های حیوانات به عنوان سطوح و غشاهای سلولی را به‌عنوان منحنی یا سطوح‌ ساده نشان می‌دادند. با این حال، دانشمندان دریافته‌اند که بسیاری از سازه‌های طبیعی با استفاده از هندسه فراکتالی بهتر توصیف می‌شوند. سیستم‌ها و فرایندهای زیستی معمولاً با سطوح مختلفی از زیرسازه‌ها، با همان الگوی کلی که در یک توالی رو به کاهش است تکرار می‌شود.

به همین ترتیب، دانشمندان دریافتند که معماری اساسی کروموزوم شبیه درخت است. هر کروموزوم از بسیاری از مینی‌کروموزوم‌ها تشکیل شده است؛ بنابراین می‌توان آن‌را به عنوان فراکتال در نظر گرفت. به عنوان مثال، برای کروموزوم انسان، ابعاد فراکتالی D برابر با 2/34 است (بین بعد صفحه و بعد فضا).

خودتشابهی نیز در توالی DNA یافت شده است. به عقیده برخی زیست‌شناسان، از خواص فراکتال DNA می‌توان برای حل روابط تکاملی در حیوانات استفاده کرد. شاید در آینده زیست‌شناسان از هندسه فراکتالی برای ایجاد مدل‌های جامع الگوها و فرایندهای مشاهده شده در طبیعت نیز استفاده کنند.

فراکتال‌ها در گرافیک رایانه‌ای

بیشترین استفاده از فراکتال‌ها در زندگی روزمره در علم رایانه است. بسیاری از طرح‌های فشرده‌سازی تصویر از الگوریتم‌های فراکتال برای فشرده‌سازی پرونده‌های گرافیکی رایانه به کمتر از یک‌چهارم از اندازه اصلی استفاده می‌کنند. گرافیست‌ها از اشکال فراکتال زیادی برای ایجاد مناظر با بافت‌های ویژه و سایرمدل‌های پیچیده استفاده می‌کنند.

همچنین، می‌توان انواع تصاویر واقعی فراکتالی را از مناظر طبیعی، مانند مناظر قمری، کوهستان‌ها و خطوط ساحلی ایجاد کرد. تصاویر فراکتالی در جلوه‌های ویژه بسیاری در فیلم‌ها و همچنین در تبلیغات تلویزیونی وجود دارند. از سیگنال‌های فراکتالی نیز می‌توان برای مدل‌سازی اشیاء طبیعی استفاده کرد که به ما این امکان را می‌دهد تا از نظر ریاضی محیط خود را با دقت بالاتری نسبت به گذشته تعریف کنیم.

گالیله می‌گوید: " جهان هستی همواره در برابر دیدگان حیرت‌زده انسان گسترده خواهد ماند و انسان هرگز نمی‌تواند آن‌را درک کند مگر اینکه زبانی را که این جهان با آن نوشته و توضیح داده شده است یاد بگیرد و حروف آن‌را بشناسد. این زبان چیزی جز ریاضیات نیست و این حروف جز مثلث، دایره و سایر اشکال هندسی چیز دیگری نیستند. بدون این زبان انسان حتی یک کلمه از جهان هستی را نخواهد فهمید و همواره گمشده‌ای می‌ماند که در کوچه‌های پرپیچ و خم سرگردان است."

به عبارت دیگر هندسه فراکتالی بیانگر یک الگوی تکرارشونده در اشیا و تصاویر می‌باشد، یعنی اگر هرتصویر یا شکل دارای این خاصیت به قسمت‌های کوچک‌تر تقسیم شود هر کدام از این قسمت‌های کوچک‌تر خود یک کپی کوچک شده از شکل اولیه می‌باشد. واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس (به معنی سنگی که شکسته و خرد شده است) می‌باشد که در سال 1975 برای اولین بار توسط مندلبروت (Benoit Mandelbrot) مطرح شد. بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نظیر تراشه‌های سیلیکونی، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها نیز از قوانین فراکتالی پیروی می‌کنند.

ویژگی‌های تئوری آشوب (بی‌نظمی)

اثر پروانه‌ای

با بال زدن یک پروانه در یک کشور آفریقایی ممکن است طوفانی در قاره آمریکا رخ دهد. این اثر را اثر پروانه‌ای نام‌گذاری کرده‌اند.

سازگاری پویا

سیستم‌های بی‌نظم در ارتباط با محیطشان مانند موجودات زنده عمل می‌کنند و نوعی تطابق و سازگاری پویا بین خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌کنند.

جاذبه‌های غریب

این جاذبه‌ها نوعی بی‌نظمی در خود دارند که اگر با دقت به آن‌ها بنگریم و نوع دیدگاهمان را نسبت به آن‌ها عوض کنیم. به نظم عمیق آن‌ها پی خواهیم برد. به طور مثال تصاویر هندسی برگرفته شده از قوم اینکا در صحرای پرو حاکی از آن است که اگر از نزدیک به آن‌ها بنگریم بی‌نظمی‌ها را نشان می‌دهند اما اگر از دور دست به آن‌ها بنگریم تصاویر معناداری را در ذهن می‌سازد. این نوع جاذبه‌ها حاوی مطالب مهمی هستند و آن‌ها در نظر اول نباید محیط پیرامون خود را آشوب‌ناک توصیف کنیم بلکه با تغییر دیدگاه خود می‌توان این آشوب را به یک نظم تبدیل کرد.

خود مانایی

در تئوری آشوب؛ نوعی شباهت بین اجزا و کل قابل تشخیص است. بدین ترتیب که هر جزئی از الگو همانند و متشابه کل می‌باشد. خاصیت خود مانایی در رفتار اعضای سازمان نیز می‌تواند نوعی وحدت ایجاد کند؛ همه افراد به یک‌سو و یک جهت و هدف واحدی نظر دارند. این ویژگی از نظریه بی‌نظمی؛ بیشتر در فراکتال‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد.

جمع‌‌بندی

بسیاری از دانشمندان دریافته‌اند که هندسه فراکتالی ابزاری قدرتمند برای کشف اسرار طیف گسترده‌ای از سیستم‌ها و حل مسائل مهم در علوم کاربردی است و به همین دلیل، تعداد سیستم‌های فیزیکی فراکتال شناخته شده به سرعت در حال رشد است.

فراکتال‌ها دقت ما را در توصیف و طبقه‌بندی اشیاء تصادفی یا ارگانیک بهبود بخشیده‌اند، اما شاید هنوز کامل نباشند. شاید آن‌ها فقط به دنیای طبیعی ما نزدیک‌تر شده‌اند و هنوز خود آن نیستند. برخی دانشمندان هنوز بر این باورند که واقعیت تصادفی بودن است و هیچ معادله ریاضی قادر نیست آن را به طور کامل توصیف کند. هرچند، نمی‌توان گفت کدام گفته درست است. شاید برای بسیاری از افراد فراکتا‌ل‌ها هرگز چیزی بیش از تصاویری زیبا نباشند.

 برای ارتباط با کارشناسان طرح تو طرح و دریافت مشاوره، روی دکمه زیر کلیک کنید.

درخواست مشاوره

نویسنده: نیما قیطانی